PODSTAWY KRYSTALOGRAFII

Kryształ - ciało o prawidłowej budowie wewnętrznej, fizycznie i chemicznie jednorodne, anizotropowe, mające wszystkie właściwości fizyczne jednakowe w kierunkach równoległych oraz w kierunkach nierównoległych związanych symetrią.

Sieć przestrzenna - odpowiada ona za prawidłową budowę wewnętrzną kryształu, na sieć przestrzenną składają się:
- węzeł sieci przestrzennej (element wyjściowy)
- odcinek translacyjny (odcinek, o który powielamy kolejne węzły począwszy od wyjściowego w linii prostej)
- prosta sieciowa - prosta powstała z powielenia węzłów o odcinek translacyjny
- płaszczyzna sieciowa - powstała o przesunięcie w dowolnym kierunku prostej sieciowej (sieć płaska)
- sieć przestrzenna - powstaje gdy płaszczyznę sieciową przesuniemy w innym, trzecim kierunku.

Najprostszym elementem, dzięki któremu możemy odtworzyć całą sieć przestrzenna jest komórka elementarna, która posiada węzły tylko w narożach.

__________________________________________________________

Krystalografia geometryczna

PRAWO STAŁOŚCI KĄTÓW
Prawo to wprowadził w 1669r. Niels Stensen. Mówi ono, że wzajemne nachylenie tych samych ścian każdego kryształu tej samej substancji jest stały i niezmienne w jednakowych warunkach fizykochemicznych, mimo że kształt i względne wymiary ścian mogą być różne. Kąty te są mierzone między normalnymi ścian, czyli liniami prostopadłymi do danej ściany.

PRAWO PASÓW (prawo Weiss'a)
Pas - jest to zespół ścian równoległych do danej prostej - osi pasa
Płaszczyzna pasowa - jest to płaszczyzna, utworzona przez normalne ścian pasa

Wszystkie ściany w krysztale znajdują się w związku pasowym:
- każda ściana należy przynajmniej do dwóch pasów
- ich położenie jest określone w krysztale

Czworościan zasadniczy

Jest to najmniejsza figura przestrzenna, która ograniczają 4 ściany. Trzy z nich przecinają się dając nam 3 krawędzie - osie krystalograficzne, czwarta ściana zamyka figura - to ściana jednostkowa. Na każdej osi odcina ona charakterystyczne odcinki - OH na osi X, OK na osi Y i OL na osi Z. taki wielościan nazywany jest właśnie czworościanem zasadniczym.

Osie  XYZ to osie układu współrzędnych, przecinają się w jednym punkcie - O - początku układu współrzędnych. Kąty między osiami krystalograficznymi oznacza się literami grackiego alfabetu: a- kąt między osiami Y i Z; b - kąt między osiami X i Z; g - kąt między osiami X i Y. Odcinki na osiach oznacza się  małymi literami: OH - a, OK - b, OL - c. Stosunek tych odcinków nazywamy stosunkiem osiowym, który wraz z kątami a, b i g określa kształt czworościanu zasadniczego.

PRAWO WYMIERNYCH WSKAŹNIKÓW
Liczby wymierne będące stosunkami dwóch odcinków odciętych na jednej osi (prawo powyżej) można przedstawić w postaci stosunku liczb całkowitych - h : k : l, gdzie h = OH/OH`, k = OK/OK`, l = OL/OL`. Liczby te (wskaźniki) ujęte w nawias okrągły nazywamy symbolem ściany - (hkl). Wskaźniki ściany pokazują nam, na ile części trzeba podzielić odcinki jednostkowe by otrzymać jej położenie.
np. ściana o symbolu (212) - można ja przedstawić w postaci stosunku:
h:k:l = OH/OH' : OK/OK' : OL/OL' = 2:1:2,
OH' = a/2, OK' = b/1, OL' = c/2.
Gdy ściana jest równoległa do jednej z osi (przecina ją w nieskończoności) to wskaźnik wynosi 0, a gdy jest prostopadła lub skośna do osi to wskaźnik = 1. Gdy w symbolu ściany pojawia się liczba z podkreśleniem u góry oznacza to że ściana przecina oś z drugiej strony początku układu współrzędnych (osie mają część dodatnia i ujemną). Np.  (012). Ściana o symbolu (hkl) będzie miała w krysztale ścianę równoległa do niej po przeciwnej stronie kryształu o symbolu ( h k l ).

_____________________________

Rzut stereograficzny

Rzut stereograficzny ma na celu przedstawienie geometrii kryształu (bryły) na płaszczyźnie. Polega to na stworzeniu najpierw obrazu sferycznego. Powstaje w ten sposób, że wyprowadzamy proste ze środka kuli, w którym umieszczony jest kryształ, tak by prosta przebijała ścianę kryształu prostopadle. Prosta taka przebija także powierzchnię kuli (sfery) i ten punkt przebicia jest biegunem ściany. Zbiór wszystkich biegunów ścian kryształu na sferze nazywamy obrazem sferycznym. Kolejnym krokiem jest zrzutowanie obrazu sferycznego na płaszczyznę. Aby znaleźć biegun ściany na płaszczyźnie, należy biegun na sferze połączyć z przeciwległym punktem wzrokowym - jest nim punkt przebicia prostej prostopadłej do płaszczyzny rzutu (może być punkt wzrokowy dolny i górny). Odcinek który połączy biegun na sferze i punkt wzrokowy przebija nam powierzchnię płaszczyzny rzutu i właśnie ten punkt jest biegunem ściany w rzucie stereograficznym. Nasz rzut stereograficzny będzie miał postać okręgu wraz z zaznaczonymi biegunami ścian. Okrąg w rzucie jest przebiciem kuli przez płaszczyznę rzutu - to tzw. koło projekcji. Punkty na rzucie oznacza się w sposób taki, że jeśli biegun ściany znajduje się na półkuli pod płaszczyzną rzutu to zaznaczamy go krzyżykiem, a jeśli na półkuli nad płaszczyzną rzutu, to zaznaczamy go kółkiem. Obrazem płaszczyzny w rzucie jest prosta lub łuk, w zależności jak nachylona jest płaszczyzna w stosunku do płaszczyzny rzutu (płaszczyzna prostopadła będzie w rzucie linią prostą, a nachylona będzie łukiem).
Na powierzchnię sfery można nałożyć siatkę równoleżników i południków, co pozwala nam na określenie dokładnego położenia ściany - każda ściana ma 2 współrzędne kątowe. Pierwsza to azymut - j, liczony od godziny 3 zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara (0-360^o). Druga to odległość biegunowa - r, liczona od środka koła projekcji w kierunku krawędzi (0-180^o). Przy wykonywaniu konstrukcji warto wiedzieć o kilku istotnych uwagach: - gdy ściana jest ustawiona prostopadle to pł. rzutu, to jej biegun będzie znajdował się na kole projekcji; - gdy ściana będzie równoległa do pł. rzutu, to jej biegun będzie usytuowany w środku koła projekcji (krzyżyk lub kółko, w zależności po której stronie pł. rzutu); bieguny ścian skośnych będą umieszczone wewnątrz koła projekcji, z tym że im ściana bardziej stroma tym będzie zbliżona do koła projekcji. Rzut wykonujemy zazwyczaj z uwzględnieniem osi krystalograficznych, które są w umieszczony w takim porządku: oś Z - jest to oś pionowa, która przebija sferę w 2 punktach (wychodne osi), rzuty tych punktów będą znajdować się w środku koła projekcji; jeśli zakładamy, że wszystkie 3 osie są do siebie prostopadłe to oś Y (pozioma) będzie miała swoje wychodne na kole projekcji ustawione na godzinie 3 i 9; oś X (pozioma) będzie miała wychodne też na kole projekcji ale na godzinie 12 i 6.

_________________________________________

Symetria

Elementy symetrii:

Środek symetrii - jest to punkt w środku kryształu, przez który poprowadzona prosta napotyka w krysztale te same elementy budowy kryształu (ściana, krawędź, wierzchołek), w jednakowej odległości od środka. Kryształy ze środkiem symetrii mają pary ścian równoległych do siebie.
[Oznaczenie: C ; 1 ]

Płaszczyzna symetrii - jest to płaszczyzna która dzieli kryształ na dwie jednakowe połówki mające się do siebie tak jak lustrzane odbicie. W rzucie stereograficznym płaszczyznę symetrii oznaczamy jako linię podwójną; powoduje ona to, że jeśli po jednej stronie płaszczyzny s. mamy biegun ściany, to musi się on znaleźć po drugiej stronie płaszczyzny s. w takiej samej odległości od niej.
[Oznaczenie: P ; m ]

Oś symetrii - jest to taka prosta, gdy kryształ zostanie obrócony wokół niej o 360^o to powtórzy się (przechodzi sam siebie) on tyle razy ile wynosi krotność osi.
[Oznaczenie: L², L³, L⁴, L⁶ ; 2, 3, 4, 6 ]

Oś polarna (biegunowa) - oś, która łączy odmienne elementy budowy kryształu (np. krawędź i ścianę).
[Oznaczenie: L_p², L_p³, L_p⁴, L_p⁶, ; 2, 3, 4, 6 ]

Oś dwubiegunowa - łączy ona te same elementy budowy kryształu.

Oznaczenia osi w rzucie stereograficznym

Oś inwersyjna - jest to połączenie działania osi symetrii i środka symetrii.

Oznaczenia w symbolice Grotha i Hermanna-Mauguina.

Klasy symetrii

Wszystkie elementy symetrii można łączyć na różne sposoby i w ten sposób wyprowadzono 32 kombinacje, czyli klasy symetrii. Każdy minerał w danej klasie symetrii ma identyczne elementy symetrii jak inne minerały z tej klasy. W każdej klasie istnieją postacie proste - jest ich 7 dla każdej klasy. Postacią prostą nazywamy zespół ścian będących symetrycznym powtórzeniem jednej ściany za pomocą elementów symetrii danej klasy symetrii.

UKŁADY KRYSTALOGRAFICZNE

III^o Klasa czworościanu rombowego  | symbol:  222 , [3L²]

- 3 osie symetrii dwukrotne, zgodne z osiami krystalograficznymi

IV^o Klasa piramidy rombowej  | symbol:  mm , [2PL_p²]

- 2 płaszczyzny symetrii prostopadłe do siebie, równoległe do osi Z
- oś dwukrotna biegunowa, zgodna z osią Z

V^o Klasa podwójnej piramidy rombowej | symbol: mmm , [3P3L²C]

- 3 płaszczyzny symetrii, zgodne z osiami krystalograficznymi
- 3 osie symetrii dwukrotne zgodne z osiami kryst.

_____________________________________________________________

III^o Klasa sfenoidu jednoskośnego | symbol:  2 , [L_p²]

- oś symetrii dwukrotna zgodna z osią Y

IV^o Klasa daszka jednoskośnego | symbol:  m , [P]

- płaszczyzna symetrii prostopadła do osi Y

V^o Klasa słupa jednoskośnego | symbol:  2/m , [PL²C]

- płaszczyzna symetrii do osi Y
- oś symetrii dwukrotna prostopadła do płaszczyzny
- środek symetrii

_____________________________________________________________

I^o Klasa jednościanu | symbol:  1 , [-]

- brak elementów symetrii

II^o Klasa dwuścianu | symbol:  1 , [C]

- środek symetrii

_____________________________________________________________

I^o Klasa piramidy trygonalnej | symbol:  3 , [L_p³]

- oś symetrii trójkrotna biegunowa, zgodna z osią Z

II^o Klasa romboedru | symbol:  3 , [L_p³]

- oś trójkrotna inwersyjna (oś trójkrotna + środek symetrii), zgodna z osią Z

III^o Klasa trapezoedru trygonalnego | symbol:  32 , [L³ 3L_p²]

- oś trójkrotna, zgodna z osią Z
- trzy osie dwukrotne biegunowe, zgodne z osiami krystalograficznymi

IV^o Klasa piramidy dytrygonalnej   | symbol:  3m , [3PL_p³]

- oś trójkrotna, zgodna z osią Z
- trzy płaszczyzny symetrii dzielące kąty między osiami krystalograficznymi na pół

V^o Klasa skalenoedru dytrygonalnego | symbol:  32m , [3PL³ 3L²C]

- oś trójkrotna, zgodna z osią Z
- trzy płaszczyzny symetrii dzielące kąty między osiami krystalograficznymi na pół
- trzy osie dwukrotne prostopadłe do płaszczyzn symetrii
- środek symetrii

_____________________________________________________________

I^o Klasa piramidy tetragonalnej | symbol:  4 , [L_p⁴]

- oś czterokrotna biegunowa, zgodna z osią Z

II^o Klasa podwójnej piramidy tetragonalnej   | symbol:  4/m , [PL⁴C]

- oś czterokrotna, zgodna z osią Z
- płaszczyzna symetrii prostopadła do osi czterokrotnej
- środek symetrii

III^o Klasa trapezoedru tetragonalnego   | symbol:  42 , [L⁴PL²]

- oś czterokrotna, zgodna z osią Z
- cztery osie dwukrotne, 2 zgodne z osiami X i Y, 2 jako dwusieczne kąta między osiami X i Y
 

IV^o Klasa piramidy dytetragonalnej  | symbol:  4mm , [4PL_p⁴]

- oś czterokrotna biegunowa, zgodna z osią Z
- cztery płaszczyzny przecinające się w osi Z
 

V^o Klasa podwójnej piramidy dytetragonalnej   | symbol:  4/mmm , [5PL⁴4L²C]

- oś czterokrotna, zgodna z osią Z
- cztery płaszczyzny przecinające się w osi Z +  jedna płaszczyzna do nich prostopadła
- cztery osie dwukrotne, 2 zgodne z osiami X i Y, 2 jako dwusieczne kąta między osiami X i Y
- środek symetrii

Ia^o Klasa czworościanu tetragonalnego   | symbol:  4 , [L²]

- oś czterokrotna inwersyjna

IIIa^o Klasa skalenoedru tetragonalnego  | symbol:  42m , [2P3L³]

- oś czterokrotna inwersyjna
- dwie osie dwukrotne zgodnie z osiami X i Y
- 2 płaszczyzny, będące dwusiecznymi kąta między X i Y

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

-- 

Oznaczenia w symbolice Grotha i Hermanna-Mauguina.